参数曲面求切平面的问题

u1=linspace(3,5,101);
th=0:0.1*pi/180:2*pi;
[U,Th]=meshgrid(u1,th);
alpha=10*pi/180;
p=0.05;
x=-U.*cos(alpha).*sin(Th);
y=U.*cos(alpha).*cos(Th);
z=-U.*sin(alpha)+p*Th;
mesh(x,y,z);

已知空间一个曲面，想画出该曲面在某一点处的切平面


需要分别求出该点的三个偏导数再进行求解
一个问题是偏导数清楚怎么求；
还有一个问题是求出切平面方程F(x,y,z)=0，如何将这个平面在matlab中画出来

希望有老师能给点思路一下

曹呆呆槑 发表于 2021-4-8 14:59
x，y的网格不知道怎么确定
x，y是根据u和th确定的
我自己把u和th作为参数计算出x，y的最值，然后对其进行 ...

你的三维图归根结底是在xyz坐标系中绘制的，所以才说直接用x,y的网格，这有什么"不知道怎么确定"的呢？

你的切点肯定在原曲面上，而且你有切点的参数数值，可以算出来切点的xyz坐标，比如 [ x0, y0, z0 ]，法向量的计算去按知乎那里的推导过程计算，假定求出切点的法向量是  [ a, b, c ]，切点本身也在切平面上，所以平面方程可以表达为
a * x0 + b * y0 + c * z0 == a * x + b * y + c * z

x, y, z就是切平面的坐标应当满足的关系式

这个式子总可以表达为 z = p1 * x + p2 * y + p3 的形式
（特定曲面的某些切面可能由于与坐标轴平行或垂直等特殊关系，x, y, z中有某个或某两个会不存在，即对应的法向量含有两个或一个零，那些特例反更简单，这里不讨论）

它对应着 z = @( x,  y ) p1 * x + p2 * y + p3 形式的函数，你自己按照图里面想要绘制切面的 x, y 区域，meshgrid生成网格，代入上述函数里面，这不就三个绘图用的矩阵全都有了么！然后调用surf或者mesh之类绘制切平面

知乎上面有推导过程，自己去看

1. zhihu.com/question/36705383

复制代码

无非就是自己根据那个推导过程计算一下特定切点的法向量的数值，再根据法向量得到切平面的方程并绘图

上图是你的参数曲面的四个随机切点的法向量与切平面，太扁了看着不明显


下图是椭球的四个随机切点的法向量与切平面

EngineerLeon 发表于 2021-4-6 10:11
知乎上面有推导过程，自己去看

无非就是自己根据那个推导过程计算一下特定切点的法向量的数值，再根据法向 ...

根据您的建议现在确定u=4，Th=90°处切平面方程
切点[x1,y1,z1],法向量[x',y'z']
切平面方程表示为
x'(x-x1)+y'(y-y1)+z'(x-z1)=0
一个是不知道怎么将这种平面方程转化成参数（u，th）的参数方程，并且绘制出来；

曹呆呆槑 发表于 2021-4-7 16:46
根据您的建议现在确定u=4，Th=90°处切平面方程
切点[x1,y1,z1],法向量[x',y'z']
切平面方程表示为

为什么要舍近求远再转化成参数u, th表达的形式
有了切平面的xyz方程之后，直接用反求一下z = a * x + b * y + c的表达式，然后用x,y的网格绘制啊

EngineerLeon 发表于 2021-4-8 07:31
为什么要舍近求远再转化成参数u, th表达的形式
有了切平面的xyz方程之后，直接用反求一下z = a * x + b * ...

x，y的网格不知道怎么确定
x，y是根据u和th确定的
我自己把u和th作为参数计算出x，y的最值，然后对其进行划分网格，然后画出来的图形是这样的
所以转换成u和th的网格比较清楚
后面参数变化的话也知道应该怎么调整。

曹呆呆槑 发表于 2021-4-8 14:59
x，y的网格不知道怎么确定
x，y是根据u和th确定的
我自己把u和th作为参数计算出x，y的最值，然后对其进行 ...

你的三维图归根结底是在xyz坐标系中绘制的，所以才说直接用x,y的网格，这有什么"不知道怎么确定"的呢？

你的切点肯定在原曲面上，而且你有切点的参数数值，可以算出来切点的xyz坐标，比如 [ x0, y0, z0 ]，法向量的计算去按知乎那里的推导过程计算，假定求出切点的法向量是  [ a, b, c ]，切点本身也在切平面上，所以平面方程可以表达为
a * x0 + b * y0 + c * z0 == a * x + b * y + c * z

x, y, z就是切平面的坐标应当满足的关系式

这个式子总可以表达为 z = p1 * x + p2 * y + p3 的形式
（特定曲面的某些切面可能由于与坐标轴平行或垂直等特殊关系，x, y, z中有某个或某两个会不存在，即对应的法向量含有两个或一个零，那些特例反更简单，这里不讨论）

它对应着 z = @( x,  y ) p1 * x + p2 * y + p3 形式的函数，你自己按照图里面想要绘制切面的 x, y 区域，meshgrid生成网格，代入上述函数里面，这不就三个绘图用的矩阵全都有了么！然后调用surf或者mesh之类绘制切平面