对维纳滤波的一些困惑

yujiangling

各位老师大神，我最近学习维纳滤波主要有以下几个困惑：
1. 这到底是个SISO问题还是MIMO问题？？？
         比如我有待处理信号x=[x(1) x(2) x(3) ... x(N) x(N+1) ... ]，目标输出d=[d(1) d(2) d(3) ... d(N) d(N+1) ... ]，权向量w=[w(1) w(2) w(3) ... w(N)]（维纳滤波器阶数为N-1阶），按照定义误差信号e(k)=d(k)-y(k)=d(k)-w*X(k)，其中X(k)=[x(k-1) x(k-2) ... x(k-N)]T，这是个向量吧？还是矩阵？因为我看到很多文章说原理就是用x(k)前面N个数值估计x(k)的值，那就应该理解为向量吧？那X(k)就是一个N×1的向量了。然后以e(k)这一个值的最小值（也就是x(k)的MSE吧？）作为求解条件得到最优解w=Rxd-1×Rxx，那么问题来了：

首先，这一点的最优解能作为整个信号x的维纳滤波器的最优解吗？k换成k+1呢？对于任意k>N的值呢？也是最优解？


其次，Rxx=XT(转置）*X，也就是一个1×N的向量乘以一个N×1的向量得到N×N的矩阵，那这个矩阵里每个元素不是两个数据相乘的结果？但实际上现在的程序计算Rxx时都是计算信号x的自相关，再取N个自相关结果构造托普利兹矩阵，程序如下：
rxx=xcorr(x);
rxx=rxx(N:2*N-1);
Rxx=toeplitz(rxx);
实际上这种情况下相当于X是这样一个矩阵吧？
X=[x(1) x(2) ... x(N);x(2) x(3) ... x(N+1); ... ;x(N) x(N+1) ... x(2N)] 需要注意的是直接求自相关的话，信号也没有翻转，与权重相乘的话不是卷积了，这也不合理吧？就算理解为有N个输入，每一行作为一个输入来估计[d(N+1) d(N+2) ... d(2N)]的值？这样的话误差信号e和目标输出d都不再是k处的值了，而是其N+1:2N的一个向量，这时候算互相关向量也应该是目标输出d(N+1:)与信号x的互相关吧？而原程序是直接算d与x互相关，然后取N个结果构造托普利兹矩阵，程序如下：
rxd=xcorr(d,x);
rxd=rdx(N:2*N-1);
Rxd=toeplize(rxd);


2. 所以第二个问题，对于一个特定的信号x和d，自相关矩阵和互相关矩阵到底要怎么算呢？求解答，谢谢各位！

honglei.chen

试着回答一下啊

从最初维纳滤波来说，它是一个SISO的概念，X是一个向量，代表时间轴上的采样。维纳滤波的所谓最佳结果，是统计意义上的最佳结果。它的目标函数是E[e(k)]，不是e(k)。所以谈维纳滤波应该在随机信号的框架下谈。当然，从定义上来说，我们通常并没有这个信号的多个实现，可是只要满足遍历性，我们就可以用时间上的遍历来代替不同的实现，这就是为什么你看到很多程序是那么写的。

从另一方面讲，所有的计算都是对当前时刻的输入来做的，如果时刻改变，比如k+1了，那么理论上所有的计算需要重来一遍才能保证最优。当然这个代价比较高，所以才有了自适应的方法，比如LMS，来逼近维纳滤波的结果而不需要一直对矩阵取逆

HTH

yujiangling

honglei.chen 发表于 2018-9-20 03:56
试着回答一下啊

从最初维纳滤波来说，它是一个SISO的概念，X是一个向量，代表时间轴上的采样。维纳滤波的 ...

感谢您的解答，还有一些困惑：
1. 老师您说的“满足遍历性，可以用时间上的遍历来替代不同的实现”是什么意思？能详细说明一下吗？为什么这样就可以直接算信号x的自相关来计算要求的自相关矩阵Rxx？要理解为求y(N+1:2N)满足最小MSE吗？

2. 还有就是按照最初的理论其实就是用一个点y(k)(k>=N+1)的最小MSE计算得到一组滤波器系数，然后将整个信号通过该滤波器滤波对吗？

问题有点多，主要还是不太明白为什么可以直接用信号x的自相关来算相关系数Rxx，麻烦老师您帮我讲解一些，谢谢老师！

honglei.chen

yujiangling 发表于 2018-9-20 09:36
感谢您的解答，还有一些困惑：
1. 老师您说的“满足遍历性，可以用时间上的遍历来替代不同的实现”是什么 ...

关于遍历性，就是说可以用时间平均来代替样本平均，这里有一点描述你可以看看

http://blog.sina.com.cn/s/blog_af8d24d50101866m.html

至于第二点，还是需要从统计意义上来看。你用的不是一个点，而是到这个点为止的一段采样，由此来得到信号的自相关。那么理论上讲，只要信号的统计特性不变，用这个维纳滤波去处理这整个信号就是最优的。

yujiangling

honglei.chen 发表于 2018-9-20 21:32
关于遍历性，就是说可以用时间平均来代替样本平均，这里有一点描述你可以看看

http://blog.sina.com.cn/ ...

谢谢老师，差不多基本理解了:D